Autorem poniższego opracowania jest dr Piotr A. Dybczyński z Instytutu Obserwatorium Astronomiczne UAM w Poznaniu.

Transformacje między astronomicznymi układami współrzędnych

Rysunek 1

Na Rysunku 1 mamy zdefiniowane trzy operatory obrotu: R_x(), R_y() oraz R_z(). Wszystkie transformacje realizujemy poprzez obroty lub ciągi obrotów z użyciem tych operatorów.

Mając dane jakieś współrzędne sferyczne, np. (u, v), gdzie u ∈ <0°;360°> oraz v ∈ <-90°;+90°> wyliczamy (po przeliczeniu kątów na radiany!) składowe wersora:

x = cos u cos v,

y = sin u cos v,

z = sin v.

Taki wersor, traktowany jako wektor kolumnowy, oznaczymy jako r(u,v). Będziemy na niego działać operatorami obrotu (czyli mnożyć lewostronnie wersor - raz lub kolejno kilka razy - przez odpowiednie macierze obrotu) uzyskując nowy wersor, z którego będziemy wyliczali współrzędne sferyczne w nowym układzie ze wzorów:

v = asin(z), wynik będzie w przedziale <-π/2;+π/2>.

u = atan2(y,x). Uwaga, wynik będzie w przedziale <-π;+π> i trzeba go przenieść do przedziału <0;+2π) dodając 2π gdy kąt będzie ujemny.

Transformacja między układem równikowym równonocnym (α,δ) a ekliptycznym (λ, β) :

r(λ, β) = R_x(ε) r(α,δ), r(α,δ) = R_x(-ε) r(λ, β) , gdzie ε jest nachyleniem ekliptyki do równika niebieskiego.

Proszę używać wartości dla epoki J2000: ε = 23° 26' 21.448" .

Transformacja między układem równikowym godzinnym (t,δ) a horyzontalnym (A,h) :

r(t,δ) = R_y(φ-90°) R_z(180°) r(A,h), r(A,h) = R_z(-180°) R_y(90° - φ) r(t,δ) gdzie φ to szerokość geograficzna obserwatora.

Transformacja między układem równikowym równonocnym (α,δ) a galaktycznym (l, b) :

Układ współrzędnych galaktycznych zdefiniowany jest przez podanie współrzędnych równikowych równonocnych północnego bieguna Galaktyki α_o i δ_o oraz kąta pozycyjnego północnego bieguna świata w układzie galaktycznym, θ (por. np. wykład prof. T. Jopka).

Proszę używać następujących wartości tych kątów:

α_o = 12^h51^m26.27549^s ,

δ_o = 27°07'42.7043" ,

θ = 122.93191857°

a transformacje mają postać:

r(l, b) = R_z(90°-θ) R_x(90°-δ_o) R_z(90°+α_o) r(α,δ), r(α,δ) = R_z(270°-α_o) R_x(270°+δ_o) R_z(270°+θ) r(l, b)

Transformacja między układem równikowym równonocnym (α,δ) a równikowym godzinnym (t,δ) :

Transformacja ta wymaga pewnego dodatkowego zabiegu, gdyż oprócz obrotu wymaga przejścia z układu lewoskrętnego na prawoskrętny (lub odwrotnie).

Idąc od (t,δ) do (α,δ) postępujemy tak:

Mając dane jakieś współrzędne równikowe godzinne (t, δ) wyliczamy troszkę inaczej składowe wersora:

x = cos t cos δ,

y = - sin t cos δ,

z = sin δ.

r(α, δ) = R_z(-s) r(t,δ), gdzie s jest miejscowym czasem gwiazdowym.

Transformacja odwrotna:

r(t, δ) = R_z(s) r(α,δ)

i w tak otrzymanym wersorze zmieniamy znak składowej y.

Przykładowe zestawy danych testowych


Strona Wydziałowa Informacje ogólne Materiały dla studentów, z którymi mam zajęcia. Co nowego? ≡ Powered by	Autorem poniższego opracowania jest dr Piotr A. Dybczyński z Instytutu Obserwatorium Astronomiczne UAM w Poznaniu. Transformacje między astronomicznymi układami współrzędnych Rysunek 1 Na Rysunku 1 mamy zdefiniowane trzy operatory obrotu: R_x(), R_y() oraz R_z(). Wszystkie transformacje realizujemy poprzez obroty lub ciągi obrotów z użyciem tych operatorów. Mając dane jakieś współrzędne sferyczne, np. (u, v), gdzie u ∈ <0°;360°> oraz v ∈ <-90°;+90°> wyliczamy (po przeliczeniu kątów na radiany!) składowe wersora: x = cos u cos v, y = sin u cos v, z = sin v. Taki wersor, traktowany jako wektor kolumnowy, oznaczymy jako r(u,v). Będziemy na niego działać operatorami obrotu (czyli mnożyć lewostronnie wersor - raz lub kolejno kilka razy - przez odpowiednie macierze obrotu) uzyskując nowy wersor, z którego będziemy wyliczali współrzędne sferyczne w nowym układzie ze wzorów: v = asin(z), wynik będzie w przedziale <-π/2;+π/2>. u = atan2(y,x). Uwaga, wynik będzie w przedziale <-π;+π> i trzeba go przenieść do przedziału <0;+2π) dodając 2π gdy kąt będzie ujemny. Transformacja między układem równikowym równonocnym (α,δ) a ekliptycznym (λ, β) : r(λ, β) = R_x(ε) r(α,δ), r(α,δ) = R_x(-ε) r(λ, β) , gdzie ε jest nachyleniem ekliptyki do równika niebieskiego. Proszę używać wartości dla epoki J2000: ε = 23° 26' 21.448" . Transformacja między układem równikowym godzinnym (t,δ) a horyzontalnym (A,h) : r(t,δ) = R_y(φ-90°) R_z(180°) r(A,h), r(A,h) = R_z(-180°) R_y(90° - φ) r(t,δ) gdzie φ to szerokość geograficzna obserwatora. Transformacja między układem równikowym równonocnym (α,δ) a galaktycznym (l, b) : Układ współrzędnych galaktycznych zdefiniowany jest przez podanie współrzędnych równikowych równonocnych północnego bieguna Galaktyki α_o i δ_o oraz kąta pozycyjnego północnego bieguna świata w układzie galaktycznym, θ (por. np. wykład prof. T. Jopka). Proszę używać następujących wartości tych kątów: α_o = 12^h51^m26.27549^s , δ_o = 27°07'42.7043" , θ = 122.93191857° a transformacje mają postać: r(l, b) = R_z(90°-θ) R_x(90°-δ_o) R_z(90°+α_o) r(α,δ), r(α,δ) = R_z(270°-α_o) R_x(270°+δ_o) R_z(270°+θ) r(l, b) Transformacja między układem równikowym równonocnym (α,δ) a równikowym godzinnym (t,δ) : Transformacja ta wymaga pewnego dodatkowego zabiegu, gdyż oprócz obrotu wymaga przejścia z układu lewoskrętnego na prawoskrętny (lub odwrotnie). Idąc od (t,δ) do (α,δ) postępujemy tak: Mając dane jakieś współrzędne równikowe godzinne (t, δ) wyliczamy troszkę inaczej składowe wersora: x = cos t cos δ, y = - sin t cos δ, z = sin δ. r(α, δ) = R_z(-s) r(t,δ), gdzie s jest miejscowym czasem gwiazdowym. Transformacja odwrotna: r(t, δ) = R_z(s) r(α,δ) i w tak otrzymanym wersorze zmieniamy znak składowej y. Przykładowe zestawy danych testowych